Stochastic Collocation
Description
Stochastic Collocation (SC) metoda numeryczna używana w dziedzinie kwantyfikacji niepewności do badania zachowania złożonych systemów, które wykazują niepewność. Opiera się ona na idei próbkowania niepewnych parametrów w starannie wybranych punktach, znanych jako punkty kolokacji (ang. collocation points), a następnie wykorzystaniu tych próbek do konstrukcji przybliżenia wielomianowego (ang. polynomial approximation) zachowania systemu.
Metoda SC jest jedną z najbardziej popularnych metod używanych do Analizy Wrażliwości. Korzystając z SC, możliwe jest także obliczenie momentów statystycznych rozwiązania: podstawowych, takich jak średnia lub wariancja, a także momentów wyższych rzędów, takich jak skośność lub kurtoza, dostarczających dodatkowych informacji na temat kształtu rozkładu rozwiązania.
Zalety
Jedną z zalet SC jest możliwość uzyskania dokładnego przybliżenie rozwiązania dla problemów złożonych, których wejściowe rozkłady prawdopodobieństwa są skomplikowane.
Przewaga SC nad innymi metodami polega także na możliwości obsługi szerokiego spektrum rozkładów prawdopodobieństwa, w tym rozkładów, które nie mogą być w prosty sposób reprezentowane za pomocą wielomianów.
Przykładowo, PCE najlepiej się sprawdza, gdy zmienne losowe reprezentowane są za pomocą rozwinięcia wielomianowego, a może generować gorsze wyniki dla rozkładów nieliniowych i nieciągłych. Symulacje Monte Carlo natomiast, oparte na losowym próbkowaniu, mogą prowadzić do mniej dokładnego przybliżenia rozwiązania przy założeniu akceptowalnej liczby próbek: w sytuacji, gdy zmienne wejściowe mają skomplikowane rozkłady prawdopodobieństwa, metoda Monte Carlo będzie wymagać większej liczby próbek w obszarach, gdzie funkcja ma dużą zmienność; bez zastosowania rozszerzeń do metody (jak adaptacyjne próbkowanie) może to prowadzić do konieczności użycia znacząco większej liczby próbek.
Wady
Jedną z potencjalnych wad SC do oceny niepewności jest to, że może być ona mniej dokładna dla systemów o silnie nieliniowej lub niegładkiej charakterystyce, lub dla systemów z bardzo dużą niepewnością. W takich przypadkach inne metody mogą okazać się skuteczniejsze.
Metoda SC, podobnie jak metoda PCE, może być obliczeniowo kosztowna dla problemów z wieloma parametrami wejściowymi. Metoda Monte Carlo jest mniej wrażliwa na rosnącą liczbę parametrów, dlatego też może być bardziej wydajna w takich przypadkach. W rezultacie, powszechną praktyką jest przeprowadzenie wstępnej analizy wrażliwości za pomocą metody Monte Carlo w celu zgrubnego oszacowania znaczenia wszystkich parametrów, a następnie przeprowadzenie szczegółowej analizy za pomocą PCE lub SC w celu zmierzenia wpływu tylko kilku kluczowych parametrów.
Parametry
Stopień wielomianu (Polynomial order)
Stopień wielomianu odnosi się do wielomianu używanego do generowania punktów kolokacji. Wyższy stopień wielomianu pozwala na bardziej szczegółową reprezentację niepewności, ale wymaga także większej liczby obliczeń. Ogólnie rzecz biorąc, stopień wielomianu powinien być dobrany tak, aby zapewnić kompromis między oczekiwaną jakością aproksymaci prawdziwego zachowania systemu a zużyciem zasobów.
Kwadratura
Kwadratura wykorzystywana jest do przybliżania wartości całek. W kolokacji stochastycznej kwadratura odgrywa istotną rolę, ponieważ pozwala na odpowiedni wybór punktów kolokacji, zapewniając tym samym wysoką efektywność metody.
Dostępnych jest wiele różnych metod kwadratury, ale zwykle domyślna Gaussowska (“G”) jest dobrym wyborem. Inne kwadratury to: 1D Clenshaw–Curtis (“C” lub “clenshaw_curtis”), Gauss-Patterson (“gauss_patterson”) i Newton-Cotes (“newton_cotes”).
Typ siatki
Typ siatki pozwala określić, czy przy wyborze punktów kolokacji ma być wykorzystywana siatka iloczynu tensorowego czy siatka rzadka.
Liczba próbek
Przy użyciu kwadratury tensorowej: $$ Ns = (p + 1)^d $$
Przy użyciu kwadratury rzadkiej: $$ Ns = O((p + 1)*log(p + 1)^{(d-1)}) $$
Gdzie: $p$ to stopień wielomianu, a $d$ to liczba niepewnych parametrów.