Polynomial Chaos Expansion
Opis
Polynomial Chaos Expansion (PCE) to technika matematyczna używana do przybliżania zachowania systemu zawierającego zmienne losowe. Jest powszechnie stosowana w dziedzinie Oceny Niepewności (UQ) do modelowania efektów niepewności na zachowanie systemu.
Podstawowa idea PCE polega na reprezentacji rozwiązania problemu jako kombinacji wielomianów. Wielomiany te wybierane są na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych w systemie. Współczynniki wielomianów są również zmiennymi losowymi, a ich wartości są określane poprzez rozwiązanie problemu dla różnych wartości parametrów wejściowych. Metoda PCE może być używana do uzyskiwania informacji statystycznych o wynikach generowanych przez model, takich jak średnia, wariancja i rozkład prawdopodobieństwa. Pozwala to użytkownikowi analizować efekty niepewności na zachowanie systemu.
Zalety
Jedną z zalet PCE w porównaniu z innymi metodami jest to, że może ona dostarczyć dokładniejsze oszacowanie rozwiązanie, szczególnie gdy zmienne wejściowe są reprezentowane przez rozwinięcie wielomianowe. PCE ma często wyższe tempo zbieżności niż inne metody, co oznacza, że wymaga mniejszej liczby punktów próbkowania, aby osiągnąć pożądany poziom dokładności. PCE charakteryzuje się również stosunkowo dużą elastycznością, ponieważ może obsługiwać zmienne losowe nie-Gaussowskie i skorelowane, a tym samym może być zastosowana do wielu typów modeli i aplikacji.
Porównując metodę PCE z innymi metodami, należy zauważyć, że metoda Stochastic Collocation może mieć wolniejsze tempo zbieżności niż PCE i być wrażliwa na wybór punktów kolokacji, a tym samym może wymagać większej liczby ewaluacji, natomiast metoda Monte Carlo, oparta na losowym próbkowaniu, może prowadzić do mniej precyzyjnych oszacowań przy podobnej liczbie ewaluacji.
Wady
Istotną wadą PCE jest jej ograniczenie w obsłudze modeli z nieciągłą lub niegładką charakterystyką odpowiedzi. PCE używa wielomianów ortogonalnych do przybliżenia wyników, a więc dokładność metody może być mniejsza w przypadkach, gdy funkcja odpowiedzi nie jest ciągła lub szybko się zmienia. W takich przypadkach inne metody UQ, takie jak Metoda Monte Carlo i Stochastic Collocation, mogą dać lepsze rezultaty.
Ponadto, PCE oraz Stochastic Collocation mogą być obliczeniowo kosztowne dla problemów wielowymiarowych (gdy liczba parametrów wejściowych jest duża). W takich przypadkach metoda Monte Carlo może być bardziej efektywna. Dlatego też, powszechną praktyką jest przeprowadzenie wstępnej, zgrubnej analizy wrażliwości za pomocą metody Monte Carlo w celu wykrycia kilku parametrów o najwyższym znaczeniu, a następnie przeprowadzenie szczegółowej analizy za pomocą PCE lub Stochastic Collocation tylko dla tych kluczowych parametrów.
Wreszcie, chociaż PCE odznacza się stosunkowo dużą elastycznością w obsłudze różnych typów rozkładów prawdopodobieństwa, nie zawsze jest to najlepsza opcja do modelowania złożonych rozkładów. W niektórych przypadkach, zwłaszcza gdy rozkład ma znaczącą asymetrię, kurtozę lub “ciężkie” ogony (ang. heavy tails), inne metody UQ, takie jak Metoda Monte Carlo i Stochastic Collocation, mogą dać lepsze wyniki. Pomimo tych ograniczeń, PCE pozostaje potężnym narzędziem UQ, które szeroko stosuje się w różnych aplikacjach w inżynierii, naukach przyrodniczych i finansach.
Parametry
Stopień wielomianu (Polynomial order)
Stopień wielomianu odnosi się do wielomianu używanego do reprezentowania niepewnych wielkości w systemie. Wyższy stopień wielomianu pozwala na bardziej szczegółową reprezentację niepewności, ale wymaga także większej liczby obliczeń. Ogólnie rzecz biorąc, stopień wielomianu powinien być dobrany tak, aby zapewnić kompromis między oczekiwaną jakością aproksymacji prawdziwego zachowania systemu a zużyciem zasobów.
Regresja
Regresja to parametr próbkowania opisujący proces budowania PCE. Istnieją dwie główne metody konstruowania PCE - projekcja i regresja.
- Metoda projekcji (regression=False): W metodzie projekcji rozwiązanie problemu jest projektowane na zestaw wielomianów ortogonalnych. Współczynniki projekcji są następnie używane do konstrukcji PCE.
- Metoda regresji (regresssion=True): W metodzie regresji PCE jest konstruowane przez dopasowanie rozwiązania problemu do zestawu wielomianów ortogonalnych. Dokonuje się tego poprzez znalezienie współczynników wielomianu, które minimalizują błąd średniokwadratowy między PCE a rozwiązaniem.
Kwadratura (Quadrature)
Kwadratura to parametr próbkowania służący do ustawiania metody kwadratury lub próbkowania sekwencji.
Gdy PCE konstruowane jest za pomocą projekcji, parametr ten określa metodę kwadratury: “G”, “C”, “newton_cotes” lub “gauss_patterson”.
Gdy PCE konstruowane jest za pomocą regresji, parametr ten domyślnie przyjmuje wartość Hammersley sequence sampler.
Typ siatki
Typ siatki pozwala określić, czy do generowania siatki w wariancie projekcji ma być używana siatka iloczynu tensorowego czy siatka rzadka.
Liczba samplowanych próbek
- Gdy używana jest metoda pseudospektralna projekcji z kwadraturą złożoną: $$ Ns = (p + 1)^d $$
- Gdy używana jest metoda pseudospektralna projekcji z rzadką siatką kwadratury: $$ Ns = O((p + 1)*log(p + 1)^{(d-1)}) $$
- Gdy używana jest metoda regresji: $$ Ns = 2*(p + d)!/(p!*d!) $$ Gdzie $p$ to stopień wielomianu, a $d$ to liczba niepewnych parametrów.